Symétrie axiale - Réflexion

Définition

Définition :
Soient $D$ une droite et $A$ un point
On pose $${{S_D(A)}}:={{A+2\overrightarrow{AP_D(A)} }}$$
L'application ainsi définie est appelée symétrie (axiale) par rapport à $D$
(Droite, Point)

Propriétés

Milieu avec le projeté orthogonal

Proposition :
$S_D(A)$ est l'unique point tel que $P_D(A)$ soit le milieu de $[AS_D(A)]$
(Projection orthogonale - Projeté orthogonal (géométrie))

Médiatrice

Proposition :
Si $A\notin D$, $S_D(A)$ est l'unique point tel que $D$ soit la médiatrice de $[AS_D(A)]$
(Médiatrice)

Avec vecteurs directeurs et normaux

Proposition :
Soient $D=D_{A,\vec u}$ une droite et $\vec v$ un de ses vecteurs normaux
Alors $$S_D:A+\lambda\vec u+\mu\vec v\mapsto {{A+\lambda\vec u-\mu\vec v}}$$
(Droite)

Nature de l'application

Proposition :
Les symétries axiales sont des isométries affines
(Isométrie, Fonction affine)

Inverse

Proposition :
Les symétries axiales sont leur propre inverse

Points fixes

Proposition :
L'ensemble des points fixes de $S_D$ est $D$

Egalité de symétries axiales

Proposition :
Nous avons l'équivalence : $${{D_1=D_2}}\iff S_{D_1}=S_{D_2}$$

Composition

Proposition :
Soit $\theta\pmod\pi$ l'angle orienté entre deux droites $D_1$ et $D_2$ sécantes en $A$
Alors $${{S_{D_2}\circ S_{D_1} }}={{R_{A,2\theta} }}$$
(Rotation linéaire)
Proposition :
Soient $D_1,D_2$ deux droites parallèles avec $D_2=D_1+\vec v$, où $\vec v$ est un vecteur normal aux deux droites
Alors $${{S_{D_2}\circ S_{D_1} }}={{T_{2\vec v} }}$$
(Translation)

Math'φsics

Formulaire de report